Il Teorema di Tellegen

 Il teorema di Tellegen è un importante risultato nel campo dell'elettronica e dei circuiti. Prende il nome dal fisico olandese Bernard Tellegen, che lo ha sviluppato. Il teorema di Tellegen stabilisce una relazione generale tra le potenze istantanee in un circuito elettrico.

Il teorema di Tellegen afferma che la somma delle potenze istantanee fornite da tutte le sorgenti elettriche in un circuito è uguale alla somma delle potenze istantanee assorbite da tutti gli elementi passivi (resistenze, condensatori, induttori) e attivi (generatori controllati da circuiti elettronici) presenti nel circuito. In altre parole, l'energia fornita dalle sorgenti di alimentazione è uguale all'energia dissipata o assorbita dagli elementi del circuito.

Matematicamente, il teorema di Tellegen può essere espresso come:

ΣP_in = ΣP_out

dove ΣP_in rappresenta la somma delle potenze istantanee fornite da tutte le sorgenti di alimentazione nel circuito e ΣP_out rappresenta la somma delle potenze istantanee assorbite da tutti gli elementi del circuito.

Questo teorema è una conseguenza del principio di conservazione dell'energia e può essere utilizzato per verificare l'equilibrio energetico in un circuito elettrico. È particolarmente utile nell'analisi dei circuiti che coinvolgono sorgenti di alimentazione e elementi dissipativi, poiché consente di valutare il flusso di energia nel circuito.

Il teorema di Tellegen trova applicazione in diversi campi dell'elettronica, come l'analisi dei circuiti elettrici, il design di circuiti elettronici e l'ottimizzazione dell'efficienza energetica dei sistemi. È uno strumento importante per l'ingegneria elettrica e può essere utilizzato per comprendere e analizzare il comportamento energetico di circuiti complessi.

Teorema di Kirchhoff

 Il teorema di Kirchhoff, chiamato anche le leggi di Kirchhoff, è un insieme di principi fondamentali che descrivono il comportamento dei circuiti elettrici. Queste leggi, sviluppate da Gustav Kirchhoff nel XIX secolo, sono utilizzate per l'analisi e la risoluzione dei circuiti in termini di correnti e tensioni.

Il teorema di Kirchhoff si compone di due leggi principali:

1. Legge dei nodi (primo teorema di Kirchhoff): Questa legge afferma che in qualsiasi nodo di un circuito elettrico, la somma delle correnti che entrano nel nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo. In altre parole, la corrente totale in un nodo è conservata. Questo si basa sul principio di conservazione della carica.
2. Legge delle maglie (secondo teorema di Kirchhoff): Questa legge afferma che la somma delle tensioni in una maglia chiusa di un circuito elettrico è uguale a zero. Una maglia è un percorso chiuso nel circuito che può includere resistenze, sorgenti di tensione e componenti del circuito. La legge delle maglie si basa sul principio di conservazione dell'energia.

Questi due principi consentono di formulare le equazioni fondamentali per l'analisi dei circuiti elettrici. Utilizzando la legge dei nodi e la legge delle maglie, è possibile scrivere un sistema di equazioni che rappresentano le relazioni tra le correnti e le tensioni in un circuito e risolverle per determinare le quantità sconosciute.

Il teorema di Kirchhoff trova ampio utilizzo nell'analisi dei circuiti elettrici sia nella teoria che nella pratica. È una base fondamentale per l'ingegneria elettrica e viene applicato in molti campi, come l'elettronica, l'automazione, l'energia elettrica, le telecomunicazioni e molti altri.

La teoria delle serie di Fourier

 La teoria delle serie di Fourier è una parte importante della matematica che si occupa della scomposizione di una funzione periodica in una serie di componenti sinusoidali, note come armoniche. Questa teoria è stata sviluppata da Jean-Baptiste Joseph Fourier nel XIX secolo ed è ampiamente utilizzata in diversi campi, tra cui l'analisi dei segnali, l'elaborazione delle immagini, la teoria dei segnali e l'ingegneria delle telecomunicazioni.

Il concetto fondamentale della teoria delle serie di Fourier è che una funzione periodica può essere approssimata o rappresentata come una combinazione lineare di sinusoidi con frequenze multiple dell'armonica fondamentale. La serie di Fourier di una funzione periodica f(x) con periodo T è data da:

f(x) = a₀ + Σ(aₙ cos(nω₀x) + bₙ sin(nω₀x))

dove a₀, aₙ e bₙ sono i coefficienti di Fourier che rappresentano l'ampiezza delle armoniche nella serie, ω₀ = 2π/T è la frequenza fondamentale e n = 1, 2, 3, ... rappresenta gli armonici. La serie di Fourier contiene termini sia cosenoidali che senoidali per coprire le variazioni di fase.

I coefficienti di Fourier possono essere calcolati utilizzando le formule di integrazione definite. Questi coefficienti rappresentano l'ampiezza e la fase delle diverse armoniche che compongono la funzione periodica. Maggiore è il valore di n, più alta è la frequenza dell'armonica e minore è il suo contributo alla rappresentazione della funzione.

La teoria delle serie di Fourier è fondamentale nella rappresentazione e nell'analisi dei segnali periodici. Attraverso la decomposizione in serie di Fourier, è possibile analizzare il contenuto in frequenza di un segnale periodico e identificare le sue componenti principali. Inoltre, questa teoria fornisce gli strumenti per la sintesi dei segnali, ovvero la ricostruzione di un segnale periodico a partire dalle sue componenti di Fourier.

La teoria delle serie di Fourier ha applicazioni pratiche in molti campi, tra cui l'elaborazione del segnale audio e video, la compressione dei dati, l'analisi dei segnali biologici, l'ingegneria delle telecomunicazioni e molte altre aree dell'ingegneria e della scienza.

Cos'è il Teorema di Millman

 Il teorema di Millman, chiamato anche teorema di Millman delle tensioni medie, è un principio utilizzato nell'analisi dei circuiti elettrici per calcolare le tensioni medie in un insieme di nodi connessi in parallelo.

Il teorema di Millman afferma che la tensione media in un nodo connesso in parallelo a una serie di resistenze e sorgenti di tensione può essere calcolata come la somma delle tensioni delle singole sorgenti di tensione pesate per le loro rispettive ammettenze, divisa per la somma delle ammettenze delle resistenze e delle sorgenti di tensione.

Matematicamente, l'espressione del teorema di Millman per calcolare la tensione media Vn in un nodo n è la seguente:

Vn = (V1/Z1 + V2/Z2 + ... + Vm/Zm) / (1/Z1 + 1/Z2 + ... + 1/Zm)

dove V1, V2, ..., Vm sono le tensioni delle sorgenti di tensione connesse in parallelo al nodo n, e Z1, Z2, ..., Zm sono le rispettive ammettenze delle resistenze e delle sorgenti di tensione connesse in parallelo al nodo n.

Questo teorema è utile quando si desidera calcolare la tensione media in un nodo che riceve input da più sorgenti di tensione. Ad esempio, può essere utilizzato per calcolare la tensione di un nodo di riferimento (terra) in un circuito complesso con diverse sorgenti di tensione collegate ad esso.

È importante notare che il teorema di Millman si applica solo a circuiti in cui tutte le sorgenti di tensione e le resistenze connesse in parallelo sono in tensione continua (corrente continua). Inoltre, il teorema assume che le tensioni delle sorgenti di tensione siano costanti nel tempo e che le resistenze e le sorgenti di tensione abbiano comportamenti lineari.

Cos'è il Teorema di Miller

 Il teorema di Miller è un principio utilizzato nell'analisi dei circuiti elettronici per semplificare il calcolo delle capacità equivalenti. È particolarmente utile nella progettazione di amplificatori operazionali e circuiti ad alta frequenza.

Il teorema di Miller afferma che la capacità tra l'ingresso e l'uscita di un amplificatore, quando viene amplificata da un guadagno A, può essere considerata come una capacità equivalente moltiplicata per un fattore (1 + A). In altre parole, la capacità effettiva tra l'ingresso e l'uscita del circuito è maggiorata dal fattore di amplificazione.

Questo teorema si basa sul fatto che la tensione ai capi di una capacità può essere considerata costante per un periodo di tempo molto breve rispetto al periodo di segnale. Pertanto, se un amplificatore ha un guadagno A, l'oscillazione di tensione in ingresso verrà amplificata di A volte e l'oscillazione di tensione in uscita sarà anch'essa amplificata di A volte. Di conseguenza, la variazione di tensione ai capi della capacità tra l'ingresso e l'uscita sarà anche amplificata di A volte.

L'applicazione pratica del teorema di Miller è evidente quando si considerano circuiti amplificatori o amplificatori operazionali con capacità parassite significative nei loro ingressi o uscite. Il teorema permette di semplificare il calcolo della capacità equivalente tra gli ingressi e le uscite, riducendo la complessità delle equazioni del circuito.

Ad esempio, nel caso di un amplificatore operazionale con un guadagno A, se c'è una capacità C tra l'ingresso e l'uscita, la capacità equivalente risultante sarà approssimativamente (1 + A) * C. Questo semplifica l'analisi del circuito in termini di risposta in frequenza, considerando una capacità effettiva aumentata.

È importante notare che il teorema di Miller è un'approssimazione valida solo in determinate condizioni e frequenze. Può essere utilizzato come strumento di semplificazione, ma è necessario considerare anche altre caratteristiche del circuito, come la resistenza di uscita, la capacità parassita e le altre condizioni di funzionamento.

Cos'è il Teorema dell'assorbimento della sorgente

 Il teorema dell'assorbimento della sorgente, noto anche come teorema di Norton, è un principio fondamentale nell'analisi dei circuiti elettrici che permette di semplificare un circuito complesso, sostituendolo con un circuito equivalente più semplice che presenta una sorgente di corrente ideale in parallelo a una resistenza equivalente.

Il teorema afferma che un circuito lineare composto da sorgenti di tensione, sorgenti di corrente e resistenze può essere rappresentato da un circuito equivalente di Norton, che consiste in una sorgente di corrente ideale (chiamata corrente di Norton) in parallelo a una resistenza equivalente (chiamata resistenza di Norton). Il circuito equivalente rappresenta il comportamento del circuito originale agli estremi di un terminale specifico, chiamato terminale di uscita.

Il procedimento per determinare il circuito equivalente di Norton comprende i seguenti passaggi:

1. Disattivare tutte le sorgenti di tensione e di corrente del circuito originale.
2. Calcolare la resistenza di Norton: sostituire tutte le sorgenti di tensione con un cortocircuito (un collegamento diretto tra i terminali di uscita) e determinare la resistenza vista attraverso il terminale di uscita. Questo può essere fatto utilizzando metodi come la sostituzione di sorgenti o la tecnica dell'analisi delle tensioni di nodo.
3. Calcolare la corrente di Norton: riattivare le sorgenti di tensione e determinare la corrente che fluisce attraverso il terminale di uscita, tenendo conto delle resistenze e delle sorgenti attive rimanenti.
4. Costruire il circuito equivalente di Norton: rappresentare la corrente di Norton e la resistenza di Norton nel circuito equivalente.

Una volta ottenuto il circuito equivalente di Norton, è possibile analizzarlo in modo più semplice rispetto al circuito originale. Ad esempio, è possibile calcolare correnti e tensioni nel terminale di uscita o collegare carichi esterni al terminale di uscita e determinare le loro prestazioni nel circuito.

Il teorema dell'assorbimento della sorgente è particolarmente utile quando si desidera analizzare il comportamento di un circuito in un punto specifico senza dover considerare il resto del circuito. Inoltre, può semplificare notevolmente l'analisi e la progettazione dei circuiti complessi.

È importante notare che il teorema dell'assorbimento della sorgente è valido solo per circuiti lineari, in cui le relazioni tra tensione e corrente sono lineari e invarianti nel tempo. Inoltre, il teorema può essere esteso al caso di circuiti a corrente alternata (AC) utilizzando le stesse principali idee e formule, ma considerando le grandezze RMS (valore efficace) al posto delle grandezze di valore medio o di picco.

Il Teorema di Thevenin

 Il teorema di Thevenin è un principio fondamentale nell'analisi dei circuiti elettrici che permette di semplificare un circuito complesso, sostituendolo con un circuito equivalente più semplice che presenta una sorgente di tensione ideale in serie a una resistenza equivalente.

Il teorema afferma che un circuito lineare composto da sorgenti di tensione, sorgenti di corrente e resistenze può essere rappresentato da un circuito equivalente di Thevenin, che consiste in una sorgente di tensione ideale (chiamata tensione di Thevenin o tensione a circuito aperto) in serie a una resistenza equivalente (chiamata resistenza di Thevenin). Il circuito equivalente rappresenta il comportamento del circuito originale agli estremi di un terminale specifico, chiamato terminale di uscita.

Il procedimento per determinare il circuito equivalente di Thevenin comprende i seguenti passaggi:

1. Disattivare tutte le sorgenti di tensione e di corrente del circuito originale.
2. Calcolare la resistenza di Thevenin: sostituire tutte le sorgenti di tensione con un circuito aperto e determinare la resistenza vista attraverso il terminale di uscita. Questo può essere fatto utilizzando metodi come la sostituzione di sorgenti o la tecnica dell'analisi delle correnti di nodo.
3. Calcolare la tensione di Thevenin: riattivare le sorgenti di tensione e determinare la tensione tra il terminale di uscita e il riferimento di terra, tenendo conto delle resistenze e delle sorgenti attive rimanenti.
4. Costruire il circuito equivalente di Thevenin: rappresentare la tensione di Thevenin e la resistenza di Thevenin nel circuito equivalente.

Una volta ottenuto il circuito equivalente di Thevenin, è possibile analizzarlo in modo più semplice rispetto al circuito originale. Ad esempio, è possibile calcolare correnti e tensioni nel terminale di uscita o collegare carichi esterni al terminale di uscita e determinare le loro prestazioni nel circuito.

Il teorema di Thevenin è particolarmente utile quando si desidera analizzare il comportamento di un circuito in un punto specifico senza dover considerare il resto del circuito. Inoltre, può semplificare notevolmente l'analisi e la progettazione dei circuiti complessi.

È importante notare che il teorema di Thevenin è valido solo per circuiti lineari, in cui le relazioni tra tensione e corrente sono lineari e invarianti nel tempo. Inoltre, il teorema può essere esteso al caso di circuiti a corrente alternata (AC) utilizzando le stesse principali idee e formule, ma considerando le grandezze RMS (valore efficace) al posto delle grandezze di valore medio o di picco.