Il teorema di Lagrange, conosciuto anche come il teorema dei valori intermedi o teorema del valore medio, è un risultato fondamentale del calcolo differenziale formulato da Joseph-Louis Lagrange.
Il teorema afferma che se una funzione f(x) è continua su un
intervallo chiuso [a, b] e differenziabile su quell'intervallo aperto (a, b),
allora esiste almeno un punto c compreso tra a e b in cui la derivata della
funzione f'(c) è uguale al rapporto incrementale tra i valori della funzione ai
due estremi dell'intervallo, ovvero:
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)
In altre parole, il teorema di Lagrange afferma che in un
intervallo in cui una funzione è continua e differenziabile, esiste almeno un
punto in cui la pendenza istantanea (la derivata) della funzione è uguale alla
pendenza media tra i due estremi dell'intervallo.
Questo teorema ha diverse applicazioni pratiche. Per esempio,
può essere utilizzato per determinare se una funzione ha uno zero o per
approssimare il valore di una radice di una funzione. Inoltre, può essere usato
per determinare se una funzione è crescente o decrescente in un intervallo
specifico.
Il teorema di Lagrange costituisce una delle fondamenta del
calcolo differenziale ed è uno degli strumenti principali per analizzare il
comportamento delle funzioni e studiare i punti critici e i valori estremi
delle funzioni.
